Persamaan
Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan pangkat tertinggi dari variabelnya (peubah) adalah dua. Bentuk umum: ax² + bx + c = 0 dengan a, b, c ∈ R, a ≠ 0.
Menentukan
Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan
Faktorisasi atau pemfaktoran menyatakan penjumalahan suku-suku bentuk aljabar menjadi bentuk perkalian faktor-faktor. Memfaktorkan persamaan kuadrat adalah membuat persamaan kuadrat tersebut menjadi perkalian dan persamaan linier.
ax² + bx + c = 0
a(x – x1)(x
– x2)
= 0
x = x1
atau x = x2
Contoh:
Dengan cara
memfaktorkan, tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x² + 2x – 24 = 0.
Jawab:
x² + 2x – 24 = 0
x² + 6x – 4x – 24 = 0
x(x + 6) – 4(x + 6) = 0
(x – 4) (x + 6) = 0
x – 4 = 0 atau x + 6 =
0
x = 4 atau x = -6
jadi, akar-akar dari
persamaan kuadrat x² + 2x – 24 = 0 adalah 4 dan -6.
Menentukan
Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapi Kuadrat Sempurna
Langkah-langkah menyelesaikan persamaan kuadrat: ax² + bx + c = 0 dengan melengkapkan kuadrat sebagai berikut.
a. Ubahlah
persamaan kuadrat semula kedalam bentuk (x + p)² = q dengan q ≥ 0 melalui proses melengkapkan
kuadrat.
b. Tentukan
akar-akar persamaan kuadrat tersebut sesuai dengan bentuk persamaan terakhir.
(x + p) = ± √q atau x = -p ± √q
Contoh:
Tentukan akar-akar dari
persamaan kuadrat x² – 4x – 5 = 0 dengan melengkapkan kuadrat
sempurna.
Jawab:
x² – 4x – 5 = 0
x² – 4x = 5
Kita ubah ruas kiri ke
dalam bentuk kuadrat sempurna:
x² – 4x + (2)² = 5 + (2)²
x² – 4x + 4 = 9
(x - 2)² = 9
(x – 2) = ±3
x₁ = 3 + 2 atau x₂ = -3 + 2
= 5 =
-1
Jadi, akar-akar dari
persamaan kuadrat x² – 4x – 5 = 0 adalah 5 dan -1.
Menentukan
Akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus abc
Akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan rumus:
Akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan rumus:
Contoh:
tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2x² + 3x - 2 = 0 dengan rumus abc.
Jawab:
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 2x² + 3x - 2 = 0 adalah 1/2 dan -2.
Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Jenis-jenis akar persamaan kuadrat dapat diselidiki dengan menggunakan diskriminan (D = b² – 4ac).
a. Jika
D > 0 Ã
persaman kuadrat mempunyai 2 akar real berlainan.
1) D
=
k² →
akar rasional.
2) D
≠
k² →
akar irasional.
b. Jika
D = 0 →
persamaan kuadrat mempunyai 2 akar yang sama atau kembar dan rasional →
x1
= x2
c. Jika
D < 0 →
Persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real (imajiner).
Contoh:
a. Tentukan
jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut.
1) 3x²
–
4x – 4 = 0
2) 5x²
+
2x + 1 = 0
Jawab:
1) 3x²
–
4x – 4 = 0
a = 3, b = -4, c = -4
D = b²
–
4ac
=
(-4)² –
4 . 3 . (-4)
= 16 + 48 = 64 > 0
Karena D > 0 maka
kedua akar real dan rasional.
2) 5x²
+
2x + 1 = 0
a = 5, b = 2, c = 1
D =
b² –
4ac
= (2)² –
4 . 5 . 1
= 4 – 20 = -16 < 0
Karena D < 0 maka
kedua akar berlainan imajiner (tidak mempunyai akar real).
b. Tentukan
nilai n agar persamaan kuadrat (n + 2)x²
+
6x + 3n = 0 mempunyai akar kembar.
Jawab:
(n + 2)x²
+
6x + 3n = 0 →
a = (n + 2), b = 6, c = 3n
Syarat mempunyai dua
akar kembar →
D = 0
b² –
4ac = 0
6² –
4 . (n + 2) . 3n = 0
36 – 4 . (3n²
+ 6n) = 0
36 – 12n²
–
24n = 0
(n + 3)(n – 1) = 0
n = -3
atau n = 1Rumus, Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Berdasarkan rumus abc, maka kita dapat menentukan rumus jumlah, selisih dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut:
x₁ + x₂ = -b / a
x₁ . x₂ = c / a
x₁ - x₂ = √D / a
Sifat-sifat akar persamaan kuadrat sebagai berikut.
- akar-akarnya berlawanan → x₁ = -x₂ → b = 0
- akar-akarnya berkebalikan → x₁ = 1 / x₂ → a = c
- kedua akarnya berlainan tanda → x₁ . x₂ < 0 → c / a < 0
- kedua akarnya sama tanda → x₁ . x₂ > 0 → c / a > 0
- salah satu akarnya nol → x₁ . x₂ = 0 → c / a = 0 → c = 0
- Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat x² - 5x - 4 = 0, hitunglah:
- x₁ + x₂
- x₁ . x₂
- 1 / x₁ + 1/x₂
- x₁³ + x₂³
Jawab:
- Persaman kuadrat (n - 2)x² - 2nx + 3 = 0, mempunyai akar-akar kebalikan. Tentukan:
- nilai n.
- akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
- (n - 2)x² - 2nx + 3 = 0
a = (n - 2), b = -2n, c = 3
syarat mempunyai akar-akar berkebalikan a = c
n - 2 = 3
n = 5 - substitusi n = 5 pada persamaan (n - 2)x² - 2nx + 3 = 0
(5 - 2)x² - 2(5)x + 3 = 0
3x² - 10x + 3 = 0
(3x - 1)(x - 3) = 0
3x - 1 = 0 atau x - 3 = 0
x = 1/3 atau x = 3