Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
Dua
pernyataan majemuk disebut ekuivalen jika dua pernyataan tersebut mempunyai
nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran
pernyataan-pernyataan komponennya. Sifat-sifat operasi dalam logika sebagai
berikut.
a. Komulatif: p v q ≡ q v p
p ^ q ≡ q ^ p
b. Assosiatif: p v (q v r) ≡ (p v q) v r
p ^ (q ^ r) ≡ (p ^ q) ^
r
c. Distributif: p ^ (q v r) ≡ (p ^ q) v (p ^ r)
p v (q ^ r) ≡ (p v q) ^
(p v r)
d. De
Morgan: ~(p v q) ≡ ~p ^ ~q
~(p ^ q) ≡ ~p v ~q
Perhatikan tabel
kebenaran dibawah ini.
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p v q
|
~(p v q)
|
(~p ^ ~q)
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
Secara singkat dapat
ditulis ~(p v q) ≡ (~p ^ ~q)
Negasi
dari Pernyataan Majemuk
Secara
ringkas, negasi dari pernyataan majemuk dapat dilihat pada tabel dibawah ini:
Pernyataan
|
Negasi
|
p
^ q
|
~p
v ~q
|
p
v q
|
~p
^ ~q
|
p
=> q
|
p
^ ~q
|
p <=>
q
|
(p
^ ~q) => (q ^ ~p)
|
Contoh:
Tentukan negasi dari
pernyataan-pernyataan berikut:
1. Ani
sedang belajar dan ibu sedang memasak.
2. Andi
sedang makan tau ia sedang tidur.
3. Jika
hari ini Rama sekolah maka ia belajar.
4. 4
adalah bilangan genap jika dan hanya jika 4 habis dibagi 2.
Jawab:
1. Ani
tidak belajar dan ibu tidak memasak.
2. Andi
tidak sedang makan dan ia tidak sedang tidur.
3. Rama
sekolah dan tidak sedang belajar.
4. 4
adalah bilangan genap dan tidak habis dibagi dua maka 4 habis di bagi dua dan 4
bukan bilangan genap.
Konvers,
Invers, dan Kontraposisi
Berdasarkan
implikasi p q dapat dibentuk pernyataan baru sebagai berikut.
1. Konvers
= q => p
2. Invers
= ~p => ~q
3. Kontraposisi
= ~q => ~p
Perhatikan
tabel kebenaran dibawah ini.
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p => q
|
q => p
|
~p => ~q
|
~q => ~p
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
Berdasarkan
tabel diatas dapat disimpulkan bahwa:
1. Implikasi
senilai dengan kontraposisinya ( p => q ≡ ~q => ~p)
2. Konvers
dan invers suatu implikasi mempunyai nilai kebenaran yang sama (q => p ≡ ~p
=> ~q).
Contoh:
Tentukan konvers,
invers dan kontraposisi dari setiap pernyataan implikasi berikut.
Jika ayah pergi ke
kantor, maka ibu memasak di rumah.
Jawab:
Konvers : jika ibu memasak di rumah, maka ayah
pergi ke kantor.
Invers : jika ayah tidak pergi ke kantor,
maka ibu tidak memasak di rumah.
Kontraposisi: Jika ibu
tidak memasak di rumah, maka ayah tidak pergi ke kantor.
