LOGIKA MATEMATIKA
A. Pernyataan
dan kalimat terbuka
1.
Pernyataan
Kalimat Tertutup
Pernyataan atau kalimat
tertutup adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak bisa
kedua-duanya sekaligus.
Contoh:
a. Semarang
adalah salah satu kota di jawa tengah . (bernilai benar)
b. 15
adalah bilangan prima. (bernilai salah)
c. Matahari
terbenam dari arah timur. (bernilai salah)
2.
Kalimat
Terbuka
Kalimat terbuka/bukan
pernyataan adalah kalimat yang nilai kebenarannya belum dapat ditentukan karena
masih memuat variabell yang belum diketahui.
Contoh:
3x – 1 = 11 à
kalimat terbuka
Jika x diganti
4,kalimat tersebut menjadi 3 (4) – 1 = 11 adalah kalimat yang bernilai benar
dan x disebut sebagai penyelesaian.Akan tetapi,jika x diganti 2,kalimat
tersebut menjadi 3 (2) – 1 = 11 sehingga termasuk kalimat yang bernilai salah.
B.
Pernyataan
Majemuk
Perhatikan
pernyataan pernyataan berikut.
·
Pontianak adalah ibukota provinsi
Kalimantan Barat.
·
Pontianak dilalui garis khatulistiwa.
Kedua pernyataan
tersebut adalah pernyataan tunggal.kedua pernyataan tunggal tersebut jika Anda
gabung dengan kata hubung “dan” akan menjadi kalimat majemuk, “Pontianak adalah
ibu kota provinsi Kalimantan Barat dan dilalui garis khatulistiwa”.
1.
Negasi
Negasi atau ingkaran
dari pernyataan p dinotasikan dengan ~p (dibaca “tidak benar p” atau bukan
“p”). Jika p bernilai benar maka ~p bernilai salah dan jika p bernilai salah
maka ~p bernilai benar.
Tabel kebenaran negasi:
p
|
~p
|
B
S
|
S
B
|
Contoh:
a. Negasi
dari 5 merupakan bilangan prima adalah “5 bukan merupakan bilangan prima”.
b. Ingkaran
dari 5 + 12 = 17 adalah 5 + 12 ≠ 17.
c. Negasi
dari “semua unggas adalah burung” adalah “ada unggas yang bukan burung”.
2.
Konjungsi
Konjungsi adalah
pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan dan dirangkai dengan kata
hubung”dan”. Notasi konjungsi’^”. Konjungsi peryataan p dan q ditulis p^q
(dibaca p dan q).
p
|
q
|
p^q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
Contoh:
Diketahui pernyataan:
p: 5 adalah bilangan
bulat
q: 5 adalah faktor dari
25
Nyatakan konjungsi
tersebut kedalam bentuk
a. p ^ q
b. ~q ^ ~p
Jawab:
a. 5 adalah bilangan
bulat dan juga faktor dari 25.
b. 5 bukan faktor dari
25 dan juga bukan bilangan bulat.
3.
Disjungsi
Disjungsi adalah
pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan dan dirangkai dengan menggunakan
kata hubung “atau (v)”. Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan
dengan “p v q” (dibaca p atau q).
Tabel kebenaran
disjungsi p v q sebagai berikut.
p
|
q
|
p v
q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
B
B
S
|
Contoh:
Diketahui:
p: 3 adalah bilangan
prima
q: 7 adalah bilangan
ganjil
Tulis disjungsi berikut
kedalam kalimat.
a. ~p v q
b. ~q v ~p
Jawab:
a. 3 bukan bilangan
prima atau 7 adalah bilangan ganjil.
b. 7 bukan bilangan
ganjil atau 3 bukan bilangan prima.
4.
Implikasi
Implikasi atau pernyataan
bersyarat adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q
menjadi pernyataan “jika p maka q”. Implikasi “jika p maka q” dapat di tulis
dengan notasi p => q.
Tabel kebenaran dari
implikasi.
p
|
q
|
p =>
q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
a. Implikasi yang
selalu bernilai benar disebut tautologi.
b. Implikasi yang
selalu bernilai salah disebut kontradiksi.
Contoh:
p: Andi belajar di
kamarnya. (pernyataan bernilai benar)
q: Andi dapat belajar
di mana saja. (Pernyataan bernilai benar)
p=>q : Jika andi
belajar di kamarnya, maka andi dapat belajar di mana saja. (pernyataan bernilai
benar).
5.
Biimplikasi
Notasi biimplikasi póq
dibaca “p jika dan hanya jika q” atau “p syarat perlu dan cukup bagi q”.
Tabel kebenaran
biimplikasi ditunjukan sebagai berikut:
p
|
q
|
p <=>
q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
B
|
Contoh:
Tentukan nilai
kebenaran setiap biimplikasi berikut.
3 adalah bilangan prima
jika dan hanya jika 3 adalah faktor dari 20
Jawab:
p: 3 adalah bilangan
prima. (bernilai benar)
q: 3 adalah faktor dari
20. (bernilai salah)
p <=>
q ≡ B <=>
S = S
Tabel kebenaran negasi,
konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p
^ q
|
p
v q
|
p
=> q
|
p <=>
q
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
