Jika Akar-Akarnya Diketahui
Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat maka kita dapat menyusun persamaan kuadrat dalam bentuk umum dengan cara berikut.
1. menggunakan perkalian faktor (x - x₁) (x - x₂) = 0
2. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. x² - (x₁ +x₂)x + x₁x₂ = 0
Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar 2 dan -6.
Jawab:
Cara
1:
x₁
= 2 dan x₂ = -6
(x - 2)( x - (-6)) = 0
(x - 2)(x + 6) = 0
x²
– 2x + 6x – 12 = 0
x²
+ 4x – 12 = 0
|
Cara
2
x₁
+ x₂ = 2 + (-6) = -4
x₁x₂
= 2 (-6) = -12
x²
– (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0
x²
– (-4)x + (-12) = 0
x² + 4x – 12 = 0
|
Jika Akar-Akarnya Mempunyai Hubungan dengan Akar-Akar Persamaan Kuadrat yang Diketahui.
Contoh:
Diketahui x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat x² + 5x - 6 = 0.
tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (x₁ - 1) dan (x₂ - 1).
Jawab:
x² + 5x - 6 = 0 → a = 1, b = 5, c = -6
x₁ + x₂ = -b / a = -5 / 1 = -5
x₁.x₂ = c / a = -6 / 1 = -6
misal, akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q maka p = x₁ - 1 dan q = x₂ - 1, sehingga:
p + q = (x₁ - 1) + (x₂ - 1)
= x₁ + x₂ - 2
= -5 - 2 = -7
p . q = (x₁ - 1) . (x₂ - 1)
= x₁.x₂ - (x₂ + x₁) + 1
= -6 - (-5) + 1 = 0
persamaan kuadrat baru: x² - (p + q)x + p.q = 0
x² - (-7)x + 0 = 0
x² + 7x = 0
jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah x² + 7x = 0.
Beberapa rumus praktis yang dapat digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat baru sebagai berikut.
- persamaan kuadrat yang akar-akarnya p kurangnya dari akar-akar ax² + bx + c = 0 adalah a(x + p)² + b(x +p) + c = 0.
- persamaan kuadrat yang akar-akarnya p kali lebih dari akar-akar ax² + bx + c = 0 adalah ax² + pbx + p²c = 0
- Persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berkebalikan dengan akar-akar ax² + bx + c = 0 adalah cx² + bx + a = 0.
