10 Contoh Pernyataan Tertutup dan Kalimat Terbuka Dalam Logika Matematika

10 Contoh Pernyataan / Kalimat Tertutup dan Kalimat Terbuka

            Sebelum lanjut ke contoh kalimat tertutup dan kalimat terbuka, alangkah lebih baik kita mengetahui dulu apa itu kalimat tertutup dan kalimat terbuka.

·         Kalimat tertutup

Adalah suatu pernyataan atau kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak bisa kedua-dua nya sekaligus.

Contoh:

1.    Bandung adalah salah satu kota di Jawa Barat. (Pernyataan Benar).

2.    5 adalah bilangan genap. (Pernyataan Salah).

3.    Matahari terbit dari arah timur. (Pernyataan Salah).

4.    7 – 3 = 4. (Pernyataan Benar).

5.    Rajin pangkal pandai. (Pernyataan Benar).

6.    Domba merupakan hewan karnivora. (Pernyataan Salah).

7.    Buah pisang berbentuk bulat. (Pernyataan Salah).

8.    Pontianak dilalui garis khatulistiwa. (Pernyataan Benar).

9.    4 : 2 = 2. (Pernyataan Benar).

10.    Merah putih adalah bendera Negara Malaysia. (Pernyataan Salah).

·         Kalimat Terbuka

Adalah suatu pernyataan atau kalimat yang nilai kebenarannya belum dapat ditentuan karena masih memuat variabel yang belum diketahui.

1.    3x – 1 = 11.

2.    Apa kemarin Bagas sakit?

3.    Bagaimana keadaan Bagas sekarang?

4.    Tolong tutup pintunya!

5.    X < 0.

6.    2x + 4 > 0.

7.    5x + 5 = 25.

8.    x + y – z > 10.

9.    4x^{2 +} 3x < 20.

10.    4x = 2y.

Kalimat Berkuantor dan Penarikan Kesimpulan

Kalimat Berkuantor

1.      Jenis Kalimat Berkuantor

a.       Kuantor Eksistensial / Kuantor Khusus

Suatu kalimat yang menggunakan kata ada, beberapa, terdapat, atau sebagian yang menunjukan jumlah.

Contoh:

1)      Terdapat bilangan prima yang genap.

2)      Ada ikan yang tidak bertelur.

Kuantor eksistensial dapat juga ditulis: ∃(x) p(x) dibaca “ada x yang bersifat p(x)”.

b.      Kuantor Universal / Kuantor Umum

Suatu kalimat yang menggunakan kata semua atau setiap. Kuantor universal dapat ditulis ∀(x) p(x) dibaca “setiap x bersifat p(x)”

Contoh:

1)      Semua murid mengikuti upacara bendahara.

2)      ∀x ∈R, x – 4 < 2

2.      Ingkaran / Negasi dari Kalimat Berkuantor

a.       “beberapa x bersifat p(x)” ingkarannya “semua x tidak bersifat p(x)”.

Contoh:   Ada karyawan yang tidak mendapat THR.

                 ∃(x), p(x) ingkaran: ∀x, ~p(x) semua karyawan mendapat THR.

b.      “semua x bersifat p(x)” ingkarannya “beberapa x tidak bersifat p(x)”

Contoh:   Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil.

                 ∀(x), p(x) ingkaran: ∃(x), ~p(x) Ada bilangan prima tidak ganjil.

Penarikan Kesimpulan

Berikut ini adalah tiga aturan dasar penarikan kesimpulan dalam logika matematika.

1.      Modus Ponens

Jika p ⇒ q benar dan p benar maka dapat disimpulkan q juga benar.

Modus ponens dapat dinyatakan dengan pola seperti berikut.

Premis 1: p ⇒ q          ...         (B)

Premis 2 : p                 ...         (B)

Konklusi : q                 ...         (B)

Contoh:

a.    Jika suatu bilangan kelipatan 4, maka bilangan itu genap

28 kelipatan 4                                                                   

∴ 28 bilangan genap

b.    Hewan mamalia bernapas dengan paru-paru.

Hewan ini adalah hewan mamalia                                   

∴ Hewan ini bernapas dengan paru-paru.

2.      Modus Tollens

Jika p ⇒ q benar dan ~q benar maka dapat disimpulkan ~p juga benar.

Modus tollens dapat dinyatakan dengan pola seperti berikut.

Premis 1 : p ⇒ q         ...         (B)

Premis 2 : ~q               ...         (B)

Konklusi : ~p              ...         (B)

Contoh:

a.    Jika hari libur maka Nia pergi ke rumah nenek.

Nia tidak pergi ke rumah nenek.                        

∴ Bukan hari libur.

b.    Jika p maka q.

Tidak q.                                                              

∴ Tidak p.

3.      Silogisme

Jika p ⇒ q benar dam q ⇒ r benar maka dapat disimpulkan p ⇒ r juga benar.

Prinsip silogisme dapat dinyatakan dengan pola sebagai berikut.

Premis 1 : p => q         ...         (B)

Premis 2 : q => r          ...         (B)

Konklusi : p => r         ...         (B)

Contoh:

a.    Jika Entin belajar dengan rajin maka ia akan lulus UN.

Jika Entin lulus UN maka ia di belikan sepeda Baru.                    

∴ Jika Entin belajar dengan rajin maka ia dibelikan sepeda baru.

b.    Semua anak kelas XI suka pejaran matematika.

Dian anak kelas XI.                                                                       

∴ Dian suka pelajaran matematika.

Logika Matematika

LOGIKA MATEMATIKA

A.    Pernyataan dan kalimat terbuka

1.      Pernyataan Kalimat Tertutup

Pernyataan atau kalimat tertutup adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak bisa kedua-duanya sekaligus.

Contoh:

a.       Semarang adalah salah satu kota di jawa tengah . (bernilai benar)

b.      15 adalah bilangan prima. (bernilai salah)

c.       Matahari terbenam dari arah timur. (bernilai salah)

2.      Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka/bukan pernyataan adalah kalimat yang nilai kebenarannya belum dapat ditentukan karena masih memuat variabell yang belum diketahui.

Contoh:

3x – 1 = 11 à kalimat terbuka

Jika x diganti 4,kalimat tersebut menjadi 3 (4) – 1 = 11 adalah kalimat yang bernilai benar dan x disebut sebagai penyelesaian.Akan tetapi,jika x diganti 2,kalimat tersebut menjadi 3 (2) – 1 = 11 sehingga termasuk kalimat yang bernilai salah.

B.     Pernyataan Majemuk

Perhatikan pernyataan pernyataan berikut.

·         Pontianak adalah ibukota provinsi Kalimantan Barat.

·         Pontianak dilalui garis khatulistiwa.

Kedua pernyataan tersebut adalah pernyataan tunggal.kedua pernyataan tunggal tersebut jika Anda gabung dengan kata hubung “dan” akan menjadi kalimat majemuk, “Pontianak adalah ibu kota provinsi Kalimantan Barat dan dilalui garis khatulistiwa”.

1.      Negasi

Negasi atau ingkaran dari pernyataan p dinotasikan dengan ~p (dibaca “tidak benar p” atau bukan “p”). Jika p bernilai benar maka ~p bernilai salah dan jika p bernilai salah maka ~p bernilai benar.

Tabel kebenaran negasi:

p	~p
B S	S B

Contoh:

a.       Negasi dari 5 merupakan bilangan prima adalah “5 bukan merupakan bilangan prima”.

b.      Ingkaran dari 5 + 12 = 17 adalah 5 +  12 ≠ 17.

c.       Negasi dari “semua unggas adalah burung” adalah “ada unggas yang bukan burung”.

2.      Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan dan dirangkai dengan kata hubung”dan”. Notasi konjungsi’^”. Konjungsi peryataan p dan q ditulis p^q (dibaca p dan q).

p	q	p^q
B B S S	B S B S	B S S S

Contoh:

Diketahui pernyataan:

p: 5 adalah bilangan bulat

q: 5 adalah faktor dari 25

Nyatakan konjungsi tersebut kedalam bentuk

a. p ^ q

b. ~q ^ ~p

Jawab:

a. 5 adalah bilangan bulat dan juga faktor dari 25.

b. 5 bukan faktor dari 25 dan juga bukan bilangan bulat.

3.      Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan dan dirangkai dengan menggunakan kata hubung “atau (v)”. Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan dengan “p v q” (dibaca p atau q).

Tabel kebenaran disjungsi p v q sebagai berikut.

p	q	p v q
B B S S	B S B S	B B B S

Contoh:

Diketahui:

p: 3 adalah bilangan prima

q: 7 adalah bilangan ganjil

Tulis disjungsi berikut kedalam kalimat.

a. ~p v q

b. ~q v ~p

Jawab:

a. 3 bukan bilangan prima atau 7 adalah bilangan ganjil.

b. 7 bukan bilangan ganjil atau 3 bukan bilangan prima.

4.      Implikasi

Implikasi atau pernyataan bersyarat adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q menjadi pernyataan “jika p maka q”. Implikasi “jika p maka q” dapat di tulis dengan notasi p => q.

Tabel kebenaran dari implikasi.

p	q	p => q
B B S S	B S B S	B S B B

a. Implikasi yang selalu bernilai benar disebut tautologi.

b. Implikasi yang selalu bernilai salah disebut kontradiksi.

Contoh:

p: Andi belajar di kamarnya. (pernyataan bernilai benar)

q: Andi dapat belajar di mana saja. (Pernyataan bernilai benar)

p=>q : Jika andi belajar di kamarnya, maka andi dapat belajar di mana saja. (pernyataan bernilai benar).

5.      Biimplikasi

Notasi biimplikasi póq dibaca “p jika dan hanya jika q” atau “p syarat perlu dan cukup bagi q”.

Tabel kebenaran biimplikasi ditunjukan sebagai berikut:

p	q	p <=> q
B B S S	B S B S	B S S B

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi berikut.

3 adalah bilangan prima jika dan hanya jika 3 adalah faktor dari 20

Jawab:

p: 3 adalah bilangan prima. (bernilai benar)

q: 3 adalah faktor dari 20. (bernilai salah)

p <=> q ≡ B <=> S = S

Tabel kebenaran negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi

p	q	~p	~q	p ^ q	p v q	p => q	p <=> q
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	S	S
S	B	B	S	S	B	B	S
S	S	B	B	S	S	B	B