Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika Akar-Akarnya Diketahui
Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat maka kita dapat menyusun persamaan kuadrat dalam bentuk umum dengan cara berikut.
1. menggunakan perkalian faktor (x - x₁) (x - x₂) = 0
2. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. x² - (x₁ +x₂)x + x₁x₂ = 0

Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar 2 dan -6.
Jawab:
 

Cara 1: x₁ = 2 dan x₂ = -6 (x - 2)( x - (-6)) = 0 (x - 2)(x + 6) = 0 x² – 2x + 6x – 12 = 0  x² + 4x – 12 = 0

Cara 2 x₁ + x₂ = 2 + (-6) = -4 x₁x₂ = 2 (-6) = -12 x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0 x² – (-4)x + (-12) = 0 x² + 4x – 12 = 0

Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan -6 adalah x² + 4x - 12 = 0.

Jika Akar-Akarnya Mempunyai Hubungan dengan Akar-Akar Persamaan Kuadrat yang Diketahui.

Contoh:
Diketahui x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat x² + 5x - 6 = 0.
tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (x₁ - 1) dan (x₂ - 1).

Jawab:
 x² + 5x - 6 = 0 → a = 1, b = 5, c = -6
x₁ + x₂ = -b / a =  -5 / 1 = -5
x₁.x₂ = c / a = -6 / 1 = -6

misal, akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q maka p = x₁ - 1 dan q = x₂ - 1, sehingga:
p + q  = (x₁ - 1) + (x₂ - 1)
          = x₁ + x₂ - 2
          = -5 - 2 = -7
p . q = (x₁ - 1) . (x₂ - 1)
        =  x₁.x₂ - (x₂ + x₁) + 1
        = -6 - (-5) + 1 = 0
persamaan kuadrat baru: x² - (p + q)x + p.q = 0
x² - (-7)x + 0 = 0
x² + 7x = 0
jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah x² + 7x = 0.

Beberapa rumus praktis yang dapat digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat baru sebagai berikut.

1. persamaan kuadrat yang akar-akarnya p kurangnya dari akar-akar ax² + bx + c = 0 adalah a(x + p)² + b(x +p) + c = 0.
2. persamaan kuadrat yang akar-akarnya p kali lebih dari akar-akar ax² + bx + c = 0 adalah ax² + pbx + p²c = 0
3. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berkebalikan dengan akar-akar ax² + bx + c = 0 adalah cx² + bx + a = 0.

Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan pangkat tertinggi dari variabelnya (peubah) adalah dua. Bentuk umum: ax² + bx + c = 0 dengan a, b, c ∈ R, a ≠ 0.

Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

Faktorisasi atau pemfaktoran menyatakan penjumalahan suku-suku bentuk aljabar menjadi bentuk perkalian faktor-faktor. Memfaktorkan persamaan kuadrat adalah membuat persamaan kuadrat tersebut menjadi perkalian dan persamaan linier.

ax² + bx + c = 0

a(x – x1)(x – x2) = 0

x = x1 atau x = x2

Contoh:

Dengan cara memfaktorkan, tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x² + 2x – 24 = 0.

Jawab:

x² + 2x – 24 = 0

x² + 6x – 4x – 24 = 0

x(x + 6) – 4(x + 6) = 0

(x – 4) (x + 6) = 0

x – 4 = 0 atau x + 6 = 0

x = 4 atau x = -6

jadi, akar-akar dari persamaan kuadrat x² + 2x – 24 = 0 adalah 4 dan -6.

      Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapi Kuadrat Sempurna

Langkah-langkah menyelesaikan persamaan kuadrat: ax² + bx + c = 0 dengan melengkapkan kuadrat sebagai berikut.

a.       Ubahlah persamaan kuadrat semula kedalam bentuk (x + p)² = q dengan q ≥ 0 melalui proses melengkapkan kuadrat.

b.      Tentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut sesuai dengan bentuk persamaan terakhir.

(x + p) = ± √q atau x = -p ± √q

Contoh:

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x² – 4x – 5 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

Jawab:

x² – 4x – 5 = 0

x² – 4x = 5

Kita ubah ruas kiri ke dalam bentuk kuadrat sempurna:

x² – 4x + (2)² = 5 + (2)²

x² – 4x + 4 = 9

(x - 2)² = 9

(x – 2) = ±3

x₁     = 3 + 2 atau x₂   = -3 + 2

        = 5                      = -1

Jadi, akar-akar dari persamaan kuadrat x² – 4x – 5 = 0 adalah 5 dan -1.

 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus abc 

Akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan rumus:

 

Contoh:

tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2x² + 3x - 2 = 0 dengan rumus abc.

Jawab:

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 2x² + 3x - 2 = 0 adalah 1/2 dan -2.


Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat 

Jenis-jenis akar persamaan kuadrat dapat diselidiki dengan menggunakan diskriminan (D = b² – 4ac).

a.       Jika D > 0 à persaman kuadrat mempunyai 2 akar real berlainan.

1)      D =  k² → akar rasional.

2)      D ≠  k² → akar irasional.

b.      Jika D = 0 → persamaan kuadrat mempunyai 2 akar yang sama atau kembar dan rasional → x1 = x2

c.       Jika D < 0 → Persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real (imajiner).

Contoh:

a.       Tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut.

1)      3x²  – 4x – 4 = 0

2)      5x²  + 2x + 1 = 0

Jawab:

1)      3x²  – 4x – 4 = 0

a = 3, b = -4, c = -4

D = b²  – 4ac

     = (-4)² – 4 . 3 . (-4)

     = 16 + 48 = 64 > 0

Karena D > 0 maka kedua akar real dan rasional.

2)      5x²  + 2x + 1 = 0

a = 5, b = 2, c = 1

D  = b² – 4ac

     = (2)² – 4 . 5 . 1

     = 4 – 20 = -16 < 0

Karena D < 0 maka kedua akar berlainan imajiner (tidak mempunyai akar real).

b.      Tentukan nilai n agar persamaan kuadrat (n + 2)x²  + 6x + 3n = 0 mempunyai akar kembar.

Jawab:

(n + 2)x²  + 6x + 3n = 0 → a = (n + 2), b = 6, c = 3n

Syarat mempunyai dua akar kembar → D = 0

b² – 4ac = 0

6² – 4 . (n + 2) . 3n = 0

36 – 4 . (3n² + 6n) = 0

36 – 12n²  – 24n = 0

3 – n² – 2n = 0

(n + 3)(n – 1) = 0

                        n = -3 atau n = 1

Rumus, Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Berdasarkan  rumus abc, maka kita dapat menentukan rumus jumlah, selisih dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut:
x₁ + x₂ = -b / a
x₁ . x₂  = c / a
x₁ - x₂  = √D / a

Sifat-sifat akar persamaan kuadrat sebagai berikut.

1. akar-akarnya berlawanan → x₁ = -x₂ → b = 0
2. akar-akarnya berkebalikan → x₁ = 1 / x₂ → a = c
3. kedua akarnya berlainan tanda → x₁ . x₂ < 0 → c / a < 0
4. kedua akarnya sama tanda → x₁ . x₂ > 0 → c / a > 0
5. salah satu akarnya nol → x₁ . x₂ = 0 → c / a = 0 → c = 0

Contoh:

• Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat x² - 5x - 4 = 0, hitunglah:
  1.  x₁ + x₂
  2. x₁ . x₂
  3. 1 / x₁ + 1/x₂ 
  4. x₁³ + x₂³
     Jawab:
   
  
   
  
  
  
  
  
  
•  Persaman kuadrat (n - 2)x² - 2nx + 3 = 0, mempunyai akar-akar kebalikan.
 Tentukan:

1. nilai n.
2. akar-akar persamaan kuadrat tersebut. 

       Jawab:

1. (n - 2)x² - 2nx + 3 = 0
   a = (n - 2), b = -2n, c = 3
   syarat mempunyai akar-akar berkebalikan a = c
   n - 2 = 3
   n = 5
2. substitusi n = 5 pada persamaan (n - 2)x² - 2nx + 3 = 0
   (5 - 2)x² - 2(5)x + 3 = 0
   3x² - 10x + 3 = 0
   (3x - 1)(x - 3) = 0
   3x - 1 = 0 atau x - 3 = 0
   x = 1/3 atau x = 3